百雞問題和Frobenius方程

現在的小學生常常會遇到一種一次多元的方程，比如說下面這題：

自行車 $b = 6$, 摩托車 $m = 1$; 自行車 $b = 14$, 摩托車 $m = 0$

這種一次多元的方程，中國人叫百雞問題。這種雞百問題，爸爸讀小學的時候是沒有可能遇到的。

因為，爸爸讀小學的時代，是沒有學這種不定方程的。不僅是一次多元的方程沒有，我們連普通的一次一元的方程都沒有。因為，那時的小學生並沒有正規的代數學訓練。

百雞問題，是北魏時代的數學課本《張邱建算經》裡面的最後一題。

今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢买雞百只，問雞翁、母、鶵各幾何？

但是，書裡面只有給出三個答案，沒有演算法。

答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢 三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十四，值錢二十八。

我們現在相信，當時張先生是靠反覆試驗才得出那三個答案的。爸爸第一次接觸百雞問題，是在麻坡縣立圖書館裡面的一本書。書名為：Chinese Mathematics: A Concise History。她是牛津大學出版社出版的科普讀物，是翻譯自中國數學家李儼和杜石然的《中國算學史》。

現在我們用正規的代數法來解百雞問題。我們用$r$表雞翁(rooster)、$h$來代表雞母(hen)、$c$來代表雞鶵(chick)：

$$r + h + c = 100, \quad 5r + 3r + \tfrac{1}{3}c = 100$$

把雞鶵從兩組方程消除掉後：

$$7r + 4h = 100$$

雞母的表達式可以寫作：

$$h = 25 - \tfrac{7}{4}r = 25 - \tfrac{7}{4}(4t) = 25 - 7t$$

最後，我們寫雞鶵的表達式：

$$\begin{align}c &= 100 - r - h\\ &= 100 - 4t - (25 - 7t)\\ &= 75 + 3t\end{align}$$

下面是百雞問題所有的正整數解：

$$(4t, 25-7t, 75 + 3t) = (0, 25, 75), (4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84)$$

百雞問題在國外當然有人研究，印度人Mahavira有研究，希臘人Diophantus有研究，後來的歐洲人當然也有研究。若我們要求答案只能是整數解，這種類型的一次多元方程在歐洲被稱為Frobenius問題。用計算機程序來解Frobenius問題是很容易的，上面的百雞問題，若是用Mathematica程序，只需輸入：

rh = FrobeniusSolve[{7, 4}, 100]
c = Table[100 - rh[[j, 1]] - rh[[j, 2]], {j, 1, 4}]

當然如果你要用手算也可以，簡單的一次二元方程，我們只需輕輕的幾個步驟。但是如果是一次十元的Frobenius方程，用手可能要算到很酸。

現在你問我，小學生在沒有正規代數學訓練的情況底下，能要求他們解百雞問題嗎？

可以是可以的，但我想，只能用張邱建先生在1500年前用的反覆試驗法來解。你問我，一般小學生應不應該學解百雞問題。我會認為是沒有必要的，但是，現在小學生數學課本作者並不那麼認為。